すべての整数の最小公倍数α

『オイラー探検 無限大の滝と12連峰』を、
細かい数式を追わずにざくざくっと読んでみた。
ζ研究所でもおなじみの黒川さんの本。
（汗をふきふきしながら、ものすごく熱心に講義される先生。）
特に第２部は全１２章からなり、ひと月に１章味わうと
ちょうど１年で読み終わる、と著者は書いているので、
こんなにも雑な読み方はあまりにひどいのだが。

その中で、「直感的に」すごく分かりやすい「計算」があって
思わず納得してしまったのでちょっぴり紹介する。
よく、発散するはずの無限級数が実は有限の値に収束する！
というびっくり仰天な式があって、たとえば、

あれれっ自然数の和なんだからどんどん大きくなって
もちろん無限大に発散するんじゃなかったの？
しかもなんでよりにもよってマイナスになってるんだ？
なんかうさんくさいな。という等式がある。

本当にこんな風になるのか、導出してみよう。
ただし、あくまで「直感的」に行くので、
厳密なことは、この際、思いきってムシする。

等比級数の和という中学生でも知ってる公式

から出発する。

この両辺を微分すると、

となる。

ここで、を代入してみよう。
おいおい、そんなこと許されるわけないだろ、
とつっこもうとされた方は実に正しい。
でもここでは気にしないでえいやっと入れる。
（ちなみに、を入れると発散してる。）

すると、

この式だけでも、左辺が有限項だったら
振動してるはずなのに、なんで右辺が有限の値に
確定してるのか不思議と言えば不思議。
でもここからさらにもっと飛躍してみる。

この式を自然数全体の和から偶数全体の和を２倍して
引いているものとして眺めてみる。

よって、

となって、全自然数の和はになった！
これはζ関数で書くと、

同様にして、

なども見つけている。オイラーはすごい。
なんでこんな奇妙な式を見つけたんだろう。

ところで、上の「導出」の是非はともかく、
ちゃんと収束性とかを気にするとすると、
「解析接続」とかを考えることになって、
そうすると答えはちゃんと正しい。
物理の方では「くりこみ」に関係するらしい。
カシミール効果で実証されたとかとか。

同じような論法の「ホラ」話のことが
文元さんのココの文章にも書いてあったのを
前に読んでいたのを思い出した。

さらに遡って、中学生のときに同じクラスの友達が、
循環小数を拡張して『循環整数』というのを作ろう！
と言って具体的な計算をたくさん見せてくれて、
それがなぜか整合的に上手く行くからすごくない？
と興奮気味に教えてくれたことがある。
そしてその計算では、『すべての整数の最小公倍数』
というのを考えると都合が良いということで、
その数を友達の名前にちなんで、αと名付けよう。

という話になった。その当時は、正直なところ
その計算のすごさがよく理解できてなかったし、
なぜそれでうまく行くのかはもっと分からなかった。
でも今ならなんとなく、理由がある気がする。
そのときの「ホラ」具合が上の例とよく似ている。
環論とかを使えば正当化できるんじゃないかな、
という気もするけど、本当のところどうなんだろう。
その後、カッコいい数学屋さんになっているので、
今度同窓会か何かで会えたら詳しく聞いてみよう。

数で遊べるってうらやましい。