ラプラスの魔

次の微分方程式をラプラス変換して解け。

(1)
x^{\prime\prime}(t) + x(t) = u(t)
x(0)=x^{\prime}(0)=0


方程式の各項をそれぞれラプラス変換すると、（初期値に注意して、）

\cal{L} \big{ x \big} = X(s)
\cal{L} \big{ x^{\prime\prime} \big} = s^2X(s) - sx(0) - x^{\prime}(0)= s^2X(s)
\cal{L} \big{ u \big} = \frac{1}{s}

さて、微分方程式の両辺をラプラス変換すると、

\cal{L} \big{ x^{\prime\prime} + x \big} = \cal{L} \big{ u \big}

左辺に線形性を用いて、

\cal{L} \big{ x^{\prime\prime}\big} + \cal{L} \big{x \big} = \cal{L} \big{ u \big}

ここで、上で求めておいたラプラス変換した各項を代入すると

s^2X(s) + X(s) = \frac{1}{s}
(s^2+1)X(s) = \frac{1}{s}
X(s) = \frac{1}{s(s^2+1)}

右辺を部分分数展開して、

X(s) = \frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1}

よって、両辺を逆ラプラス変換することで、

\cal{L}^{-1} \big{ X(s) \big} = \cal{L}^{-1} \big{\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1} \big}

右辺に線形性を用いて、

\cal{L}^{-1} \big{ X(s) \big} = \cal{L}^{-1} \big{\frac{1}{s}\big} - \cal{L}^{-1} \big{ \frac{s}{s^2+1} \big}

従って、

x(t) = 1 - cost

(2)
x^{\prime\prime}(t) + 4x^{\prime}(t) + 3x(t) = u(t)
x(0)=1, \, x^{\prime}(0)=0


方程式に現れる各項をそれぞれラプラス変換すると、（初期値に注意して、）

\cal{L} \big{ x \big} = X(s)
\cal{L} \big{ x{^\prime} \big} = sX(s) - x(0) = sX(s) - 1
\cal{L} \big{ x^{\prime\prime} \big} = s^2X(s) - sx(0) - x^{\prime}(0)= s^2X(s) -s
\cal{L} \big{ u \big} = \frac{1}{s}

さて、微分方程式の両辺をラプラス変換すると、

\cal{L} \big{ x^{\prime\prime}(t) + 4x^{\prime}(t) + 3x(t) \big} = \cal{L} \big{ u \big}

左辺に線形性を用いて、

\cal{L} \big{ x^{\prime\prime}\big} + 4\cal{L} \big{x^{\prime} \big} + 3\cal{L} \big{ x \big} = \cal{L} \big{ u \big}

ここに、上で求めておいたラプラス変換した各項を代入すると

\big{ s^2X(s) - s \big} + 4\big{ sX(s) -1 \big} + 3X(s) = \frac{1}{s}

X(s)の入った項を左辺に、それ以外を右辺に移項して整理すると、

(s^2+4s+3)X(s) = s + 4 + \frac{1}{s}
(s+1)(s+3)X(s) = \frac{1}{s}(s^2+4s+1)
X(s) = \frac{s^2 + 4s + 1}{s(s+1)(s+3)}

右辺を部分分数展開して、

X(s) = \frac{1}{3s} + \frac{1}{s+1} - \frac{1}{3(s+3)}

よって、両辺を逆ラプラス変換することで、

\cal{L}^{-1} \big{ X(s) \big} = \cal{L}^{-1} \big{\frac{1}{3s} + \frac{1}{s+1} -\frac{1}{3(s+3)} \big}

右辺に線形性を用いて、

\cal{L}^{-1} \big{ X(s) \big} = \frac{1}{3}\cal{L}^{-1} \big{\frac{1}{s}\big} + \cal{L}^{-1} \big{\frac{1}{s+1}\big} - \frac{1}{3}\cal{L}^{-1} \big{ \frac{1}{s+3} \big}

従って、

x(t) = \frac{1}{3} + e^{-t} -\frac{1}{3}e^{-3t}

(3)
ある線形システムの単位ステップ応答が
y(t) = 5 - e^{-t} - 4e^{-4t}
である。システムの伝達関数を求めよ。


単位ステップ入力u(t)のラプラス変換は、

U(s) = \cal {L} \big{u(t) \big} = \frac{1}{s}

一方、出力 y(t)のラプラス変換は、

Y(s) = \cal{L} \big{y(t)\big} = \cal{L} \big{5 - e^{-t} - 4e^{-4t}\big}

最右辺においてラプラス変換の線形性により、

Y(s) = 5\cal{L} \big{ 1 \big} - \cal{L} \big{ e^{-t} \big} - 4\cal{L} \big{ e^{-4t} \big}

よって、

Y(s) = \frac{5}{s} - \frac{1}{s+1} - \frac{4}{s+4}
Y(s) = \frac{17s + 20}{s(s+1)(s+4)}

従って、システムの伝達関数は、

G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{17s + 20}{s(s+1)(s+4)} / \frac{1}{s} = \frac{17s + 20}{(s+1)(s+4)}


以上。
あってる保障はないけどね。
参考くらいにはなったかな？

























OK?