Matrix Reloaded - Open-Ended

行列　
$A = \left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\2 & 1 \end{array}\right)$ 　
による変換
（＝あるベクトルに作用させる，つまり，
あるベクトルに左側から掛けることで新しいベクトルを作ること）
を考える．
（実はこれが，線形になっていることは最後に確かめる．）

いきなりだけれど，
$A\mathbf{x}=\Delta \mathbf{x}$
となるようなスカラー $\Delta$ とベクトル $\mathbf{x}$
を探してみよう．（もしそれらが存在したとして，それに
どのような意味があるのか，何と呼ばれるものかは後述．）

まず，右辺を左辺に移項して，
$A\mathbf{x} - \Delta \mathbf{x} = O$
$(A - \Delta E) \mathbf{x} = O$
$\left{\left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\2 & 1 \end{array}\right) - \Delta \left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array}\right)\right} \mathbf{x} = O$
$\left(\begin{array}{cc}4 - \Delta & -1 \\2 & 1 - \Delta \end{array}\right) \mathbf{x} = O$
ここで，この２元連立１次方程式が非自明な解，すなわち
$\mathbf{x} \neq O$
となるような解を持つための必要十分条件は，
左辺の行列の行列式が零となることである。
このとき，
$\left|\begin{array}{cc}4 - \Delta & -1 \\2 & 1 - \Delta \end{array}\right| = O$
$(4 - \Delta)(1 - \Delta) + 2 = 0$
$\Delta^2 - 5\Delta + 6 = 0$
ゆえに， $\Delta = 2, \,3$

さて，
$\mathbf{x} = \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$
とおくと，
$\left(\begin{array}{cc}4 - \Delta & -1 \\2 & 1 - \Delta \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right) = O$
ここにおいて， $\Delta = 2$ のときは，
$\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\2 & -1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right)$
よって，正規化を気にしない（大きさは適当にする）と，
$\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right)$

また， $\Delta = 3$ のときは，
$\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\2 & -2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right)$
よって，正規化を気にしない（大きさは適当にする）と，
$\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)$

念のため代入してみると，
$\left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) = 2\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right) = 3 \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)$
が成り立つので，
行列Aにおいて， $\Delta = 2$ のとき，
$\mathbf{x} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right)$
$\Delta = 3$ のとき，
$\mathbf{x} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right)$
が確かめられる.

従って以上より，
線形変換A（後で示す）に対して，
$A \mathbf{x} = \Delta \mathbf{x}$
を満たす(スカラー) $\Delta$ と
$0$ でないベクトル $\mathbf{x}$ が存在し，
$\Delta$ を線形変換Aの固有値，
$\mathbf{x}$ を線形変換Aの固有ベクトル
と言う（ことにする．という決まりなんですな．だから，
意味が分かるとか分からんではなくて，決まりごとです．
そう呼べと．）

最後に補足：
線形変換とは何ぞや？

以下の２つの条件を満たすとき，変換 $f$ を線形変換と呼ぶ．
(i)任意のベクトル $\mathbf{x}$ ， $\mathbf{y}$ に対して，
$f(\mathbf{x+y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})$
(ii)任意のベクトル $\mathbf{x}$ と複素数 $c$ に対して，
$f(c\mathbf{x})=c f(\mathbf{x})$

ここで，行列Aについて考えてみると，
$A \left(\mathbf{x+y}\right)=A\mathbf{x}+A\mathbf{y}$
$A \left(c\mathbf{x}\right)=c A\mathbf{x}$
より，上記の２条件を満たすので，「変換」Aは線形変換である．